算法思想

贪心

贪心算法有很多经典的应用，比如霍夫曼编码（Huffman Coding）、Prim 和 Kruskal 最小生成树算法、还有 Dijkstra 单源最短路径算法。

解决问题步骤

第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。
第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。
第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。

例子1

我们有 m 个糖果和 n 个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m<n），所以糖果只能分配给一部分孩子。每个糖果的大小不等，这 m 个糖果的大小分别是 s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这 n 个孩子对糖果大小的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？

我们可以把这个问题抽象成，从 n 个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数 m。我们现在来看看如何用贪心算法来解决。对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。

我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案

例子2

这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元这些面额的纸币，它们的张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付 K 元，最少要用多少张纸币呢？

在生活中，我们肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用 1 元来补齐。
在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。直觉告诉我们，这种处理方法就是最好的。

例子3

假设我们有 n 个区间，区间的起始端点和结束端点分别是[l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这 n 个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

比如任务调度、教师排课等等问题。
这个问题的解决思路是这样的：我们假设这 n 个区间中最左端点是 lmin，最右端点是 rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将[lmin, rmax]覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。
我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。

用贪心算法实现霍夫曼编码

假设我有一个包含 1000 个字符的文件，每个字符占 1 个 byte（1byte=8bits），存储这 1000 个字符就一共需要 8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？

假设我们通过统计分析发现，这 1000 个字符中只包含 6 种不同字符，假设它们分别是 a、b、c、d、e、f。而 3 个二进制位（bit）就可以表示 8 个不同的字符，所以，为了尽量减少存储空间，每个字符我们用 3 个二进制位来表示。那存储这 1000 个字符只需要 3000bits 就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没有更加节省空间的存储方式呢？

a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101)

霍夫曼编码就要登场了。霍夫曼编码是一种十分有效的编码方法，广泛用于数据压缩中，其压缩率通常在 20%～90% 之间。如何给不同频率的字符选择不同长度的编码呢？根据贪心的思想，我们可以把出现频率比较多的字符，用稍微短一些的编码；出现频率比较少的字符，用稍微长一些的编码。
但是，霍夫曼编码是不等长的，每次应该读取 1 位还是 2 位、3 位等等来解压缩呢？这个问题就导致霍夫曼编码解压缩起来比较复杂。为了避免解压缩过程中的歧义，霍夫曼编码要求各个字符的编码之间，不会出现某个编码是另一个编码前缀的情况
假设这 6 个字符出现的频率从高到低依次是 a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们每次会读取尽可能长的可解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会歧义。经过这种编码压缩之后，这 1000 个字符只需要 2100bits 就可以了。

我们把每个字符看作一个节点，并且附带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点 A、B，然后新建一个节点 C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点 C 作为节点 A、B 的父节点。最后再把 C 节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。

分治

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

• 分解：将原问题分解成一系列子问题；
• 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
• 合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

• 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
• 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
• 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
• 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

1. 假设有n个数据，期望数据从小到大排序，那完全有序的数据的有序度就是n(n-1)/2。逆序度等于0；相反，倒序排序的数据的有序度就是0，逆序度是n(n-1)/2。除了这两中极端情况外，我们通过计算有序对或逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。
2. 现在问：如何编程求出数组中的数据有序对个数或逆序对个数？
3. 最简单的办法：拿每个数字和他后面的数字比较，看有几个比它小。将比它小的数字个数记作k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍后，对每个数字对应的k值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。但时间复杂度是O(n^2)。
4. 用分治算法，套用分治的思想，将书中分成前后两半A1和A2，分别两者中的逆序对数，然后在计算A1和A2之间的逆序对个数k3。那整个数组的逆序对个数就是k1+k2+k3。
5. 要快速计算出两个子问题A1和A2之间的逆序对个数需要借助归并排序算法。

归并排序算法有个非常关键的操作，即将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在合并的过程中，就可以计算这两个小数组的逆序对个数。每次合并操作，都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数。

求两个数的最大共因子（欧几里得算法）

<?php

/**
 * 分治算法
 * 逻辑：
 * (1) 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
 * (2) 不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件
 */
class dc
{
    /**
     * 最大公因子（欧几里得算法）
     * 可以引申到-客厅长宽固定，问选择多大的正方形地砖，可以正好铺满客厅
     * @param $a
     * @param $b
     * @return mixed
     */
    function greatestCommonFactor($a, $b)
    {
        if ($a < $b) {
            $c = $a;
            $a = $b;
            $b = $c;
        }
        $c = $a % $b;
        if ($c == 0) {
            return $b;
        } else {
            $n = $this->greatestCommonFactor($c, $b);
        }
        return $n;
    }
}

dd((new dc())->greatestCommonFactor(160, 56));

分治思想在海量数据处理中的应用

1. 假设，给10GB的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有10GB，而我们的机器的内存可能只有2,3GB这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排，归并等基础算法来解决。
2. 要解决这种数据量大到内装不下的问题，我们就可以利用分治的思想，将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后在将小数据集合合并成大数据集合，实际上利用这种分治的处理思路，不仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

举例分析

采用分治思想的算法包括：

1. 快速排序算法
2. 合并排序算法
3. 桶排序算法
4. 基数排序算法
5. 二分查找算法
6. 利用递归树求解算法复杂度的思想
7. 分布式数据库利用分片技术做数据处理
8. MapReduce模型处理思想

回溯

深度优先搜索算法利用的是回溯算法思想。这个算法思想非常简单，但是应用却非常广泛。它除了用来指导像深度优先搜索这种经典的算法设计之外，还可以用在很多实际的软件开发场景中，比如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如数独、八皇后、0-1 背包、图的着色、旅行商问题、全排列等等。
回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

八皇后问题

<?php

/**
 * 八皇后问题
 * 有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子
 * Class queen
 */
class queen
{
    //全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
    private $result = [];

    public function cal8queens(int $row)
    {
        // 8个棋子都放置好了，打印结果
        if ($row == 8) {
            $this->printQueens();
            // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
            return;
        }

        // 每一行都有8中放法
        for ($column = 0; $column < 8; ++$column) {
            // 有些放法不满足要求
            if ($this->isOk($row, $column)) {
                // 第row行的棋子放到了column列
                $this->result[$row] = $column;
                // 考察下一行
                $this->cal8queens($row + 1);
            }
        }
    }

    private function isOk(int $row, int $column)
    {
        $leftUp = $column - 1;
        $rightUp = $column + 1;
        // 逐行往上考察每一行
        for ($i = $row - 1; $i >= 0; --$i) {
            // 第i行的column列有棋子吗
            if ($this->result[$i] == $column) {
                return false;
            }
            // 考察左上对角线：第i行leftUp列有棋子吗
            if ($leftUp >= 0 && $this->result[$i] == $leftUp) {
                return false;
            }
            // 考察右上对角线：第i行rightUp列有棋子吗
            if ($rightUp < 8 && $this->result[$i] == $rightUp) {
                return false;
            }
            --$leftUp;
            ++$rightUp;
        }
        return true;
    }

    // 打印出一个二维矩阵
    private function printQueens()
    {
        for ($row = 0; $row < 8; ++$row) {
            for ($column = 0; $column < 8; ++$column) {
                echo $this->result[$row] == $column ? "Q " : "* ";
            }
            echo "\n";
        }
        echo "\n";
    }
}

(new Queen())->cal8queens(0);

0-1 背包问题

这个问题的经典解法是动态规划，但是也可以使用回溯算法，实现简单，但是没有那么高效。

0-1 背包问题有很多变体，这里介绍一种比较基础的。有一个背包，背包总的承载重量是 Wkg。现在我们有 n 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？
我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。

<?php

class backpack
{
    public $maxW;

    // cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
    // w背包重量；items表示每个物品的重量；itemCount表示物品个数
    // 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
    // f(0, 0, a, 10, 100)
    public function f(int $i, int $cw, array $items, int $itemCount, int $w)
    {
        // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品
        if ($cw == $w || $i == $itemCount) {
            if ($cw > $this->maxW) {
                $this->maxW = $cw;
            }
            return;
        }
        // 递归调用表示不选择当前物品，直接考虑下一个（第 i+1 个），故 cw 不更新
        $this->f($i + 1, $cw, $items, $itemCount, $w);
        if ($cw + $items[$i] <= $w) {
            // 表示选择了当前物品，故考虑下一个时，cw 通过入参更新为 cw + items[i]
            $this->f($i + 1, $cw + $items[$i], $items, $itemCount, $w);
        }
    }

}

正则表达式

正则表达式中，最重要的就是通配符，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。为了方便讲解，我假设正则表达式中只包含“*”和“?”这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*”匹配任意多个（大于等于 0 个）任意字符，“?”匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，我们看下，如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？

我们依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，我们就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。

如果遇到特殊字符的时候，我们就有多种处理方式了，也就是所谓的岔路口，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。

public class Pattern {
  private boolean matched = false;
  private char[] pattern; // 正则表达式
  private int plen; // 正则表达式长度

  public Pattern(char[] pattern, int plen) {
    this.pattern = pattern;
    this.plen = plen;
  }

  public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度
    matched = false;
    rmatch(0, 0, text, tlen);
    return matched;
  }

  private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {
    if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了
    if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了
      if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了
      return;
    }
    if (pattern[pj] == '*') { // *匹配任意个字符
      for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) {
        rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);
      }
    } else if (pattern[pj] == '?') { // ?匹配0个或者1个字符
      rmatch(ti, pj+1, text, tlen);
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    }
  }
}

回溯算法的思想简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率

动态规划

一个模型三个特征
“一个模型” 指的是动态规划适合解决的问题的模型。把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。
“三个特征”分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。

1. 最优子结构
   最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来
2. 无后效性
   无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。
3. 重复子问题
   如果用一句话概括一下，那就是，不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。

解题思路

状态转移表法

回溯算法实现 - 定义状态 - 画递归树 - 找重复子问题 - 画状态转移表 - 根据递推关系填表 - 将填表过程翻译成代码
先画出一个状态表。状态表一般都是二维的，所以你可以把它想象成二维数组。其中，每个状态包含三个变量，行、列、数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，我们将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了

状态转移方程法

找最优子结构 - 写状态转移方程 - 将状态转移方程翻译成代码。
状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。有两种代码实现方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。

min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))

0-1背包问题

我们把整个求解过程分为 n 个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放到背包中。每个物品决策（放入或者不放入背包）完之后，背包中的物品的重量会有多种情况，也就是说，会达到多种不同的状态，对应到递归树中，就是有很多不同的节点。

四种算法思想比较分析

那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治单独可以作为一类，因为它跟其他三个都不大一样。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成我们今天讲的那个多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型

回溯算法是个“万金油”。基本上能用的动态规划、贪心解决的问题，我们都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级别的，只能用来解决小规模数据的问题。对于大规模数据的问题，用回溯算法解决的执行效率就很低了。

尽管动态规划比回溯算法高效，但是，并不是所有问题，都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题，需要满足三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上，动态规划和分治算法的区分非常明显。分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题，而动态规划正好相反，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。

贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性（这里我们不怎么强调重复子问题）。

其中，最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。“贪心选择性”的意思是，通过局部最优的选择，能产生全局的最优选择。每一个阶段，我们都选择当前看起来最优的决策，所有阶段的决策完成之后，最终由这些局部最优解构成全局最优解。