一、分治思想

  1. 分治思想：分治，顾明思意，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决，小的子问题解决了，大问题也就解决了。
  2. 分治与递归的区别：分治算法一般都用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

二、归并排序

归并排序

算法原理

先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并到一起，这样整个数组就有序了。这就是归并排序的核心思想。如何用递归实现归并排序呢？写递归代码的技巧就是分写得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。递推公式怎么写？如下
递推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：p >= r 不用再继续分解

性能分析

  1. 算法稳定性：
    归并排序稳不稳定关键要看merge()函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp数组，这样 就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。

  2. 时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度
    如何分析递归代码的时间复杂度？
    递归的适用场景是一个问题a可以分解为多个子问题b、c，那求解问题a就可以分解为求解问题b、c。问题b、c解决之后，我们再把b、c的结果合并成a的结果。若定义求解问题a的时间是T(a)，则求解问题b、c的时间分别是T(b)和T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等于将两个子问题b、c的结果合并成问题a的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：

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    T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
    T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
    T(n) = 2*T(n/2) + n
        = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
        = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
        = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
        ......
        = 2^k * T(n/2^k) + k * n
        ......

    当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到k=log2n。将k带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等于O(nlogn)。所以，归并排序的是复杂度时间复杂度就是O(nlogn)。

  3. 空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是O(n)
    为什么？因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过n个数据的大小，所以空间复杂度是O(n)。

实现

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/**
 * 归并排序
 * @param array $a
 */
public function mergeSort(array $array)
{
    $low = 0;
    $n = count($array);
    $this->mergeSortRecursive($array, $low, $n - 1);
}

private function mergeSortRecursive(array $array, $low, $high)
{
    // 递归终止条件
    if ($low >= $high) {
        return [$array[$high]];
    }
    // 取中间位置$mid
    $mid = $low + (($high - $low) >> 1);
    // 递归，合并
    return $this->merge($this->mergeSortRecursive($array, $low, $mid), $this->mergeSortRecursive($array, $mid + 1, $high));
}

private function merge(array $leftArr, array $rightArr)
{
    // 归并排序中最有意思的部分：可以延伸考多个有序数组合并问题
    $newArr = [];
    $leftIndex = $rightIndex = 0;

    $leftCount = count($leftArr);
    $rightCount = count($rightArr);

    while ($leftIndex < $leftCount && $rightIndex < $rightCount) {
        $newArr[] = $leftArr[$leftIndex] <= $rightArr[$rightIndex] ? $leftArr[$leftIndex++] : $rightArr[$rightIndex++];
    }
    // 这里要考虑，如果拼接完成后，数组还有剩余的处理
    $start = $leftIndex;
    $end = $leftCount;
    $corpArr = $leftArr;
    if ($rightIndex < $rightCount) {
        $start = $rightIndex;
        $end = $rightCount;
        $corpArr = $rightArr;
    }
    while ($start < $end) {
        $newArr[] = $corpArr[$start++];
    }
    return $newArr;
}

三、快速排序

算法原理

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。然后遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将povit放到中间。经过这一步之后，数组p到r之间的数据就分成了3部分，前面p到q-1之间都是小于povit的，中间是povit，后面的q+1到r之间是大于povit的。根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从p到q-1之间的数据和下标从q+1到r之间的数据，直到区间缩小为1，就说明所有的数据都有序了。
递推公式：quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件：p >= r

性能分析

  1. 算法稳定性：
    因为分区过程中涉及交换操作，如果数组中有两个8，其中一个是pivot，经过分区处理后，后面的8就有可能放到了另一个8的前面，先后顺序就颠倒了，所以快速排序是不稳定的排序算法。比如数组[1,2,3,9,8,11,8]，取后面的8作为pivot，那么分区后就会将后面的8与9进行交换。
  2. 时间复杂度：最好、最坏、平均情况
    快排也是用递归实现的，所以时间复杂度也可以用递推公式表示。
    如果每次分区操作都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并的相同。
    T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
    T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
    所以，快排的时间复杂度也是O(nlogn)。
    如果数组中的元素原来已经有序了，比如1，3，5，6，8，若每次选择最后一个元素作为pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的，需要进行大约n次的分区，才能完成整个快排过程，而每次分区我们平均要扫描大约n/2个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就是O(n^2)。
    前面两种情况，一个是分区及其均衡，一个是分区极不均衡，它们分别对应了快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均时间复杂度是多少呢？T(n)大部分情况下是O(nlogn)，只有在极端情况下才是退化到O(n^2)，而且我们也有很多方法将这个概率降低。
  3. 空间复杂度：快排是一种原地排序算法，空间复杂度是O(1)

原地交换的实现图解

实现

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/**
  * 快排
  * @param array $array
  * @return array
  */
 public function quickSort(array $array)
 {
     $count = count($array);
     $this->quickSortRecursive($array, 0, $count - 1);
     return $array;
 }

 private function quickSortRecursive(array &$array, int $left, int $right)
 {
     if ($left >= $right) {
         return;
     }
     $q = $this->partition($array, $left, $right);
     $this->quickSortRecursive($array, $left, $q - 1);
     $this->quickSortRecursive($array, $q + 1, $right);
 }

 private function partition(array &$array, int $left, int $right)
 {
     $pivot = $array[$right];
     $index = $left;

     for ($j = $left; $j < $right; ++$j) {
         if ($array[$j] < $pivot) {
             $tmp = $array[$j];
             $array[$j] = $array[$index];
             $array[$index] = $tmp;
             $index ++;
         }
     }
     $tmp = $array[$index];
     $array[$index] = $array[$right];
     $array[$right] = $tmp;

     return $index;
 }

四、归并排序与快速排序的区别

归并和快排用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？

  1. 归并排序，是先递归调用，再进行合并，合并的时候进行数据的交换。所以它是自下而上的排序方式。何为自下而上？就是先解决子问题，再解决父问题。
  2. 快速排序，是先分区，在递归调用，分区的时候进行数据的交换。所以它是自上而下的排序方式。何为自上而下？就是先解决父问题，再解决子问题。

五、思考

  1. O(n)时间复杂度内求无序数组中第K大元素，比如4，2，5，12，3这样一组数据，第3大元素是4。
    我们选择数组区间A[0…n-1]的最后一个元素作为pivot，对数组A[0…n-1]进行原地分区，这样数组就分成了3部分，A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。
    如果如果p+1=K，那A[p]就是要求解的元素；如果K>p+1，说明第K大元素出现在A[p+1…n-1]区间，我们按照上面的思路递归地在A[p+1…n-1]这个区间查找。同理，如果K<p+1，那我们就在A[0…p-1]区间查找。
    时间复杂度分析？
    第一次分区查找，我们需要对大小为n的数组进行分区操作，需要遍历n个元素。第二次分区查找，我们需要对大小为n/2的数组执行分区操作，需要遍历n/2个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为n、n/2、n/4、n/8、n/16……直到区间缩小为1。如果把每次分区遍历的元素个数累加起来，就是等比数列求和，结果为2n-1。所以，上述解决问题的思路为O(n)。
  2. 有10个访问日志文件，每个日志文件大小约为300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。现在需要将这10个较小的日志文件合并为1个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排列。如果处理上述任务的机器内存只有1GB，你有什么好的解决思路能快速地将这10个日志文件合并？