一、排序方法与复杂度归类

  1. 几种最经典、最常用的排序方法：冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。
  2. 复杂度归类
    • 冒泡排序、插入排序、选择排序 O(n^2)
    • 快速排序、归并排序 O(nlogn)
    • 计数排序、基数排序、桶排序 O(n)

二、如何分析一个“排序算法”？

算法的执行效率

  1. 最好、最坏、平均情况时间复杂度。
  2. 时间复杂度的系数、常数和低阶。
  3. 比较次数，交换（或移动）次数。

排序算法的稳定性

  1. 稳定性概念：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。
  2. 稳定性重要性：可针对对象的多种属性进行有优先级的排序。
  3. 举例：给电商交易系统中的“订单”排序，按照金额大小对订单数据排序，对于相同金额的订单以下单时间早晚排序。用稳定排序算法可简洁地解决。先按照下单时间给订单排序，排序完成后用稳定排序算法按照订单金额重新排序。

排序算法的内存损耗

原地排序算法：特指空间复杂度是O(1)的排序算法。

三、冒泡排序

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求，如果不满足就让它俩互换。

稳定性

冒泡排序是稳定的排序算法。

空间复杂度

冒泡排序是原地排序算法。

时间复杂度

  1. 最好情况（满有序度）：O(n)。
  2. 最坏情况（满逆序度）：O(n^2)。
  3. 平均情况：
    1. “有序度”和“逆序度”：对于一个不完全有序的数组，如4，5，6，3，2，1，有序元素对为3个（4，5），（4，6），（5，6），有序度为3，逆序度为12；对于一个完全有序的数组，如1，2，3，4，5，6，有序度就是n*(n-1)/2，也就是15，称作满有序度；逆序度=满有序度-有序度；冒泡排序、插入排序交换（或移动）次数=逆序度。
    2. 最好情况下初始有序度为n*(n-1)/2，最坏情况下初始有序度为0，则平均初始有序度为n*(n-1)/4，即交换次数为n*(n-1)/4，因交换次数<比较次数<最坏情况时间复杂度，所以平均时间复杂度为O(n^2)。

代码实现

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public function bubbleSort($array)
{
    $count = count($array);
    if ($count <= 0) {
        return false;
    }
    for ($i = 0; $i < $count; $i++) {
        // 提前退出冒泡循环的标志位
        $flag = false;
        for ($j = $count - 1; $j > $i; $j--) {
            if ($array[$j] < $array [$j - 1]) {
                $tmp = $array[$j];
                $array[$j] = $array[$j - 1];
                $array [$j - 1] = $tmp;
                $flag = true;
            }
        }
        if (!$flag) {
            break;
        }
    }
    return $array;
}

四、插入排序

插入排序将数组数据分成已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，即数组第一个元素。在未排序区间取出一个元素插入到已排序区间的合适位置，直到未排序区间为空。

稳定性

插入排序是稳定的排序算法。

空间复杂度

插入排序是原地排序算法。

时间复杂度：

  1. 最好情况：O(n)。
  2. 最坏情况：O(n^2)。
  3. 平均情况：O(n^2)（往数组中插入一个数的平均时间复杂度是O(n)，一共重复n次）。

代码实现

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public function insertionSort(array $a)
{
    $n = count($a);
    if ($n <= 1) {
        return false;
    }
    for ($i = 1; $i < $n; $i++) {
        $value = $a[$i];
        for ($j = $i - 1; $j >= 0; --$j) {
            if ($a[$j] > $value) {
                $a[$j + 1] = $a[$j];
            } else {
                break;
            }
        }
        $a[$j + 1] = $value;
    }
    return $a;
}

五、选择排序

选择排序将数组分成已排序区间和未排序区间。初始已排序区间为空。每次从未排序区间中选出最小的元素插入已排序区间的末尾，直到未排序区间为空。

稳定性

选择排序不是稳定的排序算法。

空间复杂度

选择排序是原地排序算法。

时间复杂度：（都是O(n^2)）

  1. 最好情况：O(n^2)。
  2. 最坏情况：O(n^2)。
  3. 平均情况：O(n^2)。

代码实现

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/**
* 选择排序
* 时间复杂度O(n^2)
* @param array $list
* @return array
*/
public function selectionSort(array $list)
{
    $n = count($list);
    for ($i = 0; $i < $n - 1; $i++) {
        $min = $i;
        for ($j = $i + 1; $j < $n; $j++) {
            if ($list[$j] < $list[$min]) {
                $min = $j;
            }
        }
        if ($min != $i) {
            $value = $list[$min];
            $list[$min] = $list[$i];
            $list[$i] = $value;
        }
    }
    return $list;
}

思考

  1. 冒泡排序和插入排序的时间复杂度相同，都是O(n^2)，在实际的软件开发中，为什么我们更倾向于使用插入排序而不是冒泡排序算法呢？
    答：从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要3个赋值操作，而插入排序只需要1个，所以在对相同数组进行排序时，冒泡排序的运行时间理论上要长于插入排序。
  2. 这种排序算法，都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中，这三种排序算法还能工作吗？如果能，那相应的时间、空间复杂度又是多少呢？
    答：是否允许修改链表的节点value值，还是只能改变节点的位置。一般而言，考虑只能改变节点位置，冒泡排序相比于数组实现，比较次数一致，但交换时操作更复杂；插入排序，比较次数一致，不需要再有后移操作，找到位置后可以直接插入，但排序完毕后可能需要倒置链表；选择排序比较次数一致，交换操作同样比较麻烦。综上，时间复杂度和空间复杂度并无明显变化，若追求极致性能，冒泡排序的时间复杂度系数会变大，插入排序系数会减小，选择排序无明显变化